Question

（本小题满分15分）   已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，过其上一点P（x₀, y₀）（x₀≠0）的切线方程为y-y₀=-2x₀ （x-x₀）．

（Ⅰ）求抛物线方程；

（Ⅱ）斜率为k₁的直线PA与抛物线的另一交点为A，斜率为k₂的直线PB与抛物线的另一交点为B（A、B两点不同），且满足k₂+λk₁=0（λ≠0, λ≠-1）,若，求证线段PM的中点在y轴上；

（Ⅲ）C、D是抛物线上的两个动点，若抛物线在C、D点处的切线互相垂直，直线CD是否过定点？如果是，求出定点坐标，如果不是，请说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）由题意可设抛物线的方程为y=ax²,

　　　 ∵过点p（x₀, y₀ ） （x₀≠0）的切线方程为y- y₀ =2ax₀（x-x₀ ）,

　　　 ∴2a= -2, a= -1, ∴抛物线的方程为y= -x²

（Ⅱ）直线PA的方程为y- y₀ =k₁（x-x₀ ）,联立,得：，

　　　 ∴，同理,可得，　　　 又∵∴∴，

　　　 又 ∴

　　　 ∴线段PM的中点的横坐标是，该点在y轴上． 　　　　　　　　　　　

（Ⅲ）设:,直线代入抛物线方程，∴

　　 又抛物线在C、D点处的切线互相垂直，所以∴，，

　　　 所以直线CD过定点．