题目内容
已知函数f（x）=ax-lnx+1（a∈R），g（x）=xe1-x．
（1）求函数g（x）在区间（0，e]上的值域T；
（2）是否存在实数a，对任意给定的集合T中的元素t，在区间[1，e]上总存在两个不同的xi（i=1，2），使得f（xi）=t成立、若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由；
（3 ）函数f（x）图象上是否存在两点A（x1，y1）和B（x2，y2），使得割线AB的斜率恰好等于函数f（x）在AB中点M（x0，y0）处切线的斜率？请写出判断过程．
（1）求函数g（x）在区间（0，e]上的值域T；
（2）是否存在实数a，对任意给定的集合T中的元素t，在区间[1，e]上总存在两个不同的xi（i=1，2），使得f（xi）=t成立、若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由；
（3 ）函数f（x）图象上是否存在两点A（x1，y1）和B（x2，y2），使得割线AB的斜率恰好等于函数f（x）在AB中点M（x0，y0）处切线的斜率？请写出判断过程．
分析：（1）由g′（x）=e1-x-xe1-x=e1-x（1-x），知g（x）在区间（0，1]上单调递增，在区间[1，e）上单调递减，由此能求出g（x）的值域T．
（2）则由（1）可得t∈（0，1]，原问题等价于：对任意的t∈（0，1]，f（x）=t在[1，e]上总有两个不同的实根，
故f（x）在[1，e]不可能是单调函数，由此能推导出满足条件的a不存在．
（3）kAB=
=
=a-
，而f′(x0) =f′(
)=a-
，ln
=
=
，由此能推导出函数f（x）图象上是不存在两点A（x1，y1）和B（x2，y2），使得割线AB的斜率恰好等于函数f（x）在AB中点M（x0，y0）处切线的斜率．
（2）则由（1）可得t∈（0，1]，原问题等价于：对任意的t∈（0，1]，f（x）=t在[1，e]上总有两个不同的实根，
故f（x）在[1，e]不可能是单调函数，由此能推导出满足条件的a不存在．
（3）kAB=
| y1-y2 |
| x1-x2 |
| a(x1-x2) |
| x1-x2 |
| lnx1-lnx2 |
| x1-x2 |
| x1+x2 |
| 2 |
| 2 |
| x1+x2 |
| x1 |
| x2 |
| 2(x1-x2) |
| x1+x2 |
2(
| ||
|
解答：解：（1）∵g′（x）=e1-x-xe1-x=e1-x（1-x），
∴g（x）在区间（0，1]上单调递增，在区间[1，e）上单调递减，
且g（0）=0，g（1）=1＞g（e）=e2-e，
∴g（x）的值域T为（0，1]．
（2）则由（1）可得t∈（0，1]，
原问题等价于：对任意的t∈（0，1]，f（x）=t在[1，e]上总有两个不同的实根，
故f（x）在[1，e]不可能是单调函数，
∵f′(x)=a-
，（1≤x≤e），
∈[
，1]，
当a≥1时，f′（x）＞0，f（x）在区间[1，e]上单调递增，不合题意．
当a≤
时，f′（x）＜0，f（x）在区间[1，e]上单调递减，不合题意．
当1＜
＜e，即
＜a＜1时，f（x）在区间[1，
]上单调递减；f（x）在区间[
，e]上单递增，
由上可得a∈（
，1），此时必有f（x）的最小值小于等于0，
且f（x）的最大值大于等于1，
而由f（x）min=f（
）=2+lna≤0，
可得a≤
，则a∈∅．
综上，满足条件的a不存在．
（3）kAB=
=
=
=a-
，
而f′(x0) =f′(
)=a-
，
故有
=
，
即ln
=
=
，
令t=
∈(0，1)，
则上式化为lnt+
-2=0，
令F（t）=lnt+
-2，
则由F′(t)=
-
=
＞0，
可得F（t）在（0，1）上单调递增，
故F（t）＜F（1）=0，即方程lnt+
-2=0无解，
所以函数f（x）图象上是不存在两点A（x1，y1）和B（x2，y2），
使得割线AB的斜率恰好等于函数f（x）在AB中点M（x0，y0）处切线的斜率．
∴g（x）在区间（0，1]上单调递增，在区间[1，e）上单调递减，
且g（0）=0，g（1）=1＞g（e）=e2-e，
∴g（x）的值域T为（0，1]．
（2）则由（1）可得t∈（0，1]，
原问题等价于：对任意的t∈（0，1]，f（x）=t在[1，e]上总有两个不同的实根，
故f（x）在[1，e]不可能是单调函数，
∵f′(x)=a-
| 1 |
| x |
| 1 |
| x |
| 1 |
| e |
当a≥1时，f′（x）＞0，f（x）在区间[1，e]上单调递增，不合题意．
当a≤
| 1 |
| e |
当1＜
| 1 |
| a |
| 1 |
| e |
| 1 |
| a |
| 1 |
| a |
由上可得a∈（
| 1 |
| e |
且f（x）的最大值大于等于1，
而由f（x）min=f（
| 1 |
| a |
可得a≤
| 1 |
| e2 |
综上，满足条件的a不存在．
（3）kAB=
| y1-y2 |
| x1-x2 |
| a(x1-x2) |
| x1-x2 |
=
| a(x1-x2)-(lnx1-lnx2) |
| x1-x2 |
=a-
| lnx1-lnx2 |
| x1-x2 |
而f′(x0) =f′(
| x1+x2 |
| 2 |
| 2 |
| x1+x2 |
故有
| lnx1-lnx2 |
| x1-x2 |
| 2 |
| x1+x2 |
即ln
| x1 |
| x2 |
| 2(x1-x2) |
| x1+x2 |
2(
| ||
|
令t=
| x1 |
| x2 |
则上式化为lnt+
| 4 |
| t+1 |
令F（t）=lnt+
| 4 |
| t+1 |
则由F′(t)=
| 1 |
| t |
| 4 |
| (t+1)2 |
| (t-1)2 |
| t(t+1) |
可得F（t）在（0，1）上单调递增，
故F（t）＜F（1）=0，即方程lnt+
| 4 |
| t+1 |
所以函数f（x）图象上是不存在两点A（x1，y1）和B（x2，y2），
使得割线AB的斜率恰好等于函数f（x）在AB中点M（x0，y0）处切线的斜率．
点评：本题考查函数的值域的求法，探索是否存在满足条件的实数，探索函数图象上满足条件的两点是否存在．综合性强，难度大，对数学思维能力要求较高，有一定的探索性．
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