Question

设a，b，c都是正数，求证：

（1）()²+()²≥+；

（2）；

（3）++≤.

Answer 1

思路分析：本题（2）的关键是如何对常数进行处理.这里除了要用到构造法，还要运用不等式的可加性.

证明：由题设不妨设a≥b≥c＞0.

（1）由不等式的单调性知a²≥b²，≥，于是.由排序原理：

，即()²+()²≥+.

（2）由不等式的单调性知且a≥b≥c＞0，由排序原理：

，

，

两式相加得所证不等式成立.

（3）由不等式的单调性知≥，因而.根据不等式的单调性知a⁵≥b⁵≥c⁵，由排序不等式得

.

又由不等式的单调性知a²≥b²≥c²，，根据排序原理：

.

由不等式的传递性可知+.