Question

在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，三棱锥B₁-ABC为正四面体，则直线AD₁与平面ACC₁A₁所成角的正弦值为    ．

Answer 1

【答案】分析：根据平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，三棱锥B₁-ABC为正四面体，可得该几何体各棱及每个面的较短的对角线均相等，进而由正四面体的几何特征还可得到四棱锥B₁-ACC₁A₁和四棱锥D-ACC₁A₁均为正四棱锥，连接B₁D交平面ACC₁A₁于O，延长A₁A至E，使A₁A=AE，连接AD₁，DE，可得∠OED即为直线AD₁与平面ACC₁A₁所成角，解△OED可得答案．
解答：解：∵平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，三棱锥B₁-ABC为正四面体，
故B₁C=B₁A=B₁A₁=B₁C₁，即四棱锥B₁-ACC₁A₁为正四棱锥，
同理，四棱锥D-ACC₁A₁也为正四棱锥，
连接B₁D交平面ACC₁A₁于O，则O即为D在平面ACC₁A₁上的射影
延长A₁A至E，使A₁A=AE，连接AD₁，DE，
则DE∥AD₁，
则∠OED即为直线AD₁与平面ACC₁A₁所成角
设平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁各棱长均为a
在Rt△OED中，OD为棱长均为a的正四棱锥的高，故OD==，
OE==，
DE==
∴sin∠OED===
故答案为：
点评：本题考查的知识点是直线与平面所成的角，其中根据已知条件，结合正四面体的几何特征，分析出∠OED即为直线AD₁与平面ACC₁A₁所成角，将线面夹角问题转化为解三角形问题是解答的关键．