Question

直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∠ADC=90°，△ABC为等边三角形，且AA₁=AD=DC=2．
（1）求AC₁与BC所成角的余弦值；
（2）求二面角B-AC₁-C的大小；
（3）设M是BD上的点，当DM为何值时，D₁M⊥平面A₁C₁D？并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）先将CB平移到C₁B₁，根据两异面所成角的定义可知∠AC₁B₁（或其补角）是AC₁与BC所成的角，在三角形AB₁C₁中利用余弦定理解出此角即可；
（2）设AC∩BD=O，过O作OH⊥AC₁交AC₁于H，连接BH，根据二面角平面角的定义可知∠OHB为二面角B-AC₁-C的平面角，在Rt△BOH中，求出此角即可；
（3）在BD上取点M，使得OM=OD，连接AM，CM，欲证D₁M⊥平面A₁C₁D，可证D₁M⊥A₁D，D₁M⊥A₁C₁，又A₁D∩A₁C₁=A₁，求出此时的DM．

解答：解：（Ⅰ）∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是直四棱柱，
∴C₁C∥B₁B，且C₁C=B₁B，
∴四边形C₁CBB₁是平行四边形，
∴C₁B₁∥CB，
即∠AC₁B₁（或其补角）是AC₁与BC所成的角．
连接AB₁，在三角形AB₁C₁中，AC1=AB1=2

3

，C1B1=2

2

，
∴cosAC1B1=

A C 2 1 +B1 C 2 1 -A B 2 1

2AC1•B1C1

=

12+8-12

2•2 3 •2 2

=

6

6

．
故AC₁与BC所成角的余弦值为

6

6

．（5分）

（Ⅱ）设AC∩BD=O，则BO⊥AC，又BO⊥C₁C，AC∩C₁C=C，
∴BO⊥平面AC₁C．
过O作OH⊥AC₁交AC₁于H，连接BH，则BH⊥AC₁，
∴∠OHB为二面角B-AC₁-C的平面角．
在Rt△BOH中，BO=

6

，OH=

6

3

，tanOHB=3，
故二面角B-AC₁-C的大小为arctan3．（10分）
（Ⅲ）在BD上取点M，使得OM=OD，连接AM，CM，
∵AD=DC，∠ADC=90°，又DO⊥AC，且AO=OC，
∴CM=AM=AD，
∴四边形AMCD是一个正方形．
可证D₁M⊥A₁D，D₁M⊥A₁C₁，又A₁D∩A₁C₁=A₁，
∴D₁M⊥平面A₁C₁D，此时DM=2

2

．
故当DM=2

2

时，有D₁M⊥平面A₁C₁D．（14分）

点评：本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象能力，运算能力和推理论证能力．