Question

如下图，P是边长为1的正六边形ABCDEF所在平面外一点，PA=1，P在平面ABC内的射影为BF的中点O.

(1)证明PA⊥BF；

(2)求面APB与面DPB所成二面角的大小.

Answer 1

解法1：连结AD，则易知AD与BF的交点为O.

(1)证法1：∵AB=AF,O为BF的中点，∴AO⊥BF

又∵PO⊥平面ABC，

∴由三垂线定理得PA⊥BF

证法2：∵BF⊥PO,BF⊥AO,PO∩AO=O,∴BF⊥平面AOP.

∵PA平面AOP，∴PA⊥BF.

(2)解：设M为PB的中点，连结AM、MD.

∵在△ABP中PA=AB，∴PB⊥AM.

∵斜线PB在平面ABC内的射影为OB，BF⊥AD，∴由三垂线定理得PB⊥AD.

又∵AM∩AD=A,∴PB⊥平面AMD.

∵MD平面AMD，∴PB⊥MD.

因此∠AMD为所求二面角的平面角.

在正六边形ABCDEF中，BD=BF=2OB=，AD=2.

在Rt△AOP中，PA=1，OA=∴PO=

在Rt△BOP中，PB=，则

BM=C,AM=,MD=.

在△AMD中，由余弦定理得cosAMD=.

因此，所求二面角的大小为arccos(-).

解法2：?由题设条件,以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz.如图，由正六边形的性质，可得OA=,OB=OF=,OD=

在Rt△AOP中，PA=1，OA=，故OP=.

因而有A(0,-,0),B(,0,0),D(0,,0),F(-,0,0),P(0,0,).

(1)证明：因=(0,-,-),  =(-,0,0),故=0.所以PA⊥BF.

(2)解：设M为PB的中点，连结AM、MD，则M点的坐标为().

∵==0,

=(=0，

∴MA⊥PB,MD⊥PB.

因此，∠AMD为所求二面角的平面角.

∵=,,

,

∴cos＜＞=

因此，所求二面角的大小为arccos().