Question

(2006安微，19)如下图，P是边长为1的正六边形ABCDEF所在平面外一点，PA=1，P在平面ABC内的射影为BF的中点O．

(1)证明：PA⊥BF；

(2)求面APB与面DPB所成二面角的大小．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：连结AD，则易知AD与BF的中点为O． (1)证法一：∵AB=AF，O为BF的中点， ∴AO⊥BF． 又∵PO⊥平面ABC， ∴由三垂线定理得PA⊥BF． 证法二：∵BF⊥PO，BF⊥AO，PO∩AO=O， ∴BF⊥平面AOP． ∵PA平面AOP，∴PA⊥BF． (2)设M为PB的中点，连结AM，MD． ∵在△ABP中PA=AB，∴PB⊥AM． ∵斜线PB在平面ABC内的射影为OB，BF⊥AD， ∴由三垂线定理得PB⊥AD． 又∵AM∩AD=A，∴PB⊥平面AMD． ∵MD平面AMD，∴PB⊥MD． 因此，∠AMD为所求二面角的平面角． 在正六边形ABCDEF中， ，AD=2． 在Rt△AOP中，PA=1，， ∴． 在Rt△BOP中，， 则， ， ． 在△AMD中，由余弦定量得． 因此，所求二面角的大小为．