Question

已知A，B分别是椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1的左、右顶点，P是椭圆上异与A，B的任意一点，Q是双曲线C₂：

x2

a2

-

y2

b2

=1上异与A，B的任意一点，a＞b＞0．
（I）若P（

5

2

，

3

），Q（

5

2

，1），求椭圆C_l的方程；
（Ⅱ）记直线AP，BP，AQ，BQ的斜率分别是k₁，k₂，k₃，k₄，求证：k₁•k₂+k₃•k₄为定值；
（Ⅲ）过Q作垂直于x轴的直线l，直线AP，BP分别交 l于M，N，判断△PMN是否可能为正三角形，并说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把点P的坐标代入椭圆方程，点Q的坐标代入双曲线方程，两式联立后可求得a²与b²的值，从而求出椭圆的方程；
（Ⅱ）设出P、Q的坐标，由两点式直接写出直线AP，BP，AQ，BQ的斜率，把P、Q的纵坐标分别用横坐标表示，代入k₁•k₂+k₃•k₄后整理即可得到结论；
（Ⅲ）假设△PMN能为正三角形，利用平面几何知识可得到∠PAN=30°，∠PBA=30°，从而得到点P位于椭圆的短轴的两个端点时△PMN能为正三角形．

解答：（Ⅰ）解：∵P（

5

2

，

3

）在椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1上，Q（

5

2

，1）在双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1上，
则

5 4a2 + 3 b2 =1① 25 4a2 - 1 b2 =1②

，
①+②×3得：

80

4a2

=4，a²=5，
把a²=5代入①得，b²=4．
所以椭圆C_l的方程为

x2

5

+

y2

4

=1；
（Ⅱ）证明：由A（-a，0），B（a，0），
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则k1=

y1

x1+a

，k2=

y1

x1-a

，k3=

y2

x2+a

，k4=

y2

x2-a

k₁•k₂+k₃•k₄=

y1

x1+a

•

y1

x1-a

+

y2

x2+a

•

y2

x2-a

=

y12

x12-a2

+

y22

x22-a2

∵设P（x₁，y₁）在椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1上，Q（x₂，y₂）在双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1上，
∴y12=

b2

a2

(a2-x12)，y22=

b2

a2

(x22-a2)
则k₁•k₂+k₃•k₄=

y12

x12-a2

+

y22

x22-a2

=

b2 a2 (a2-x12)

x12-a2

+

b2 a2 (x22-a2)

x22-a2

=-

b2

a2

+

b2

a2

=0．
所以k₁•k₂+k₃•k₄为定值；
（Ⅲ）假设△PMN是正三角形，
∴∠MPN=∠PMN=60°，
又∵MN⊥x轴，∴∠PAN=30°，∠PBA=30°，
∴△PAB为等腰三角形，∴点P位于y轴上，且P在椭圆上，
∴点P的坐标为（0，±b），
此时

|OP|

|OA|

=tan30°=

b

a

=

3

3

，
即a=

3

b．
综上，当a=

3

b，且点P的坐标为（0，±b）时，△PMN为正三角形．

点评：本题是圆锥曲线的综合题，考查了利用代入法求圆锥曲线的方程，训练了学生的整体运算能力，考查了平面几何知识在圆锥曲线问题中的应用，是有一定难度题目．