Question

如图，三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AA₁⊥面ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，AA₁=3，D为AC的中点.

   （Ⅰ）求证：AB₁//面BDC₁；

　 （Ⅱ）求二面角C₁—BD—C的余弦值；

   （Ⅲ）在侧棱AA­₁上是否存在点P，使得

CP⊥面BDC₁？并证明你的结论.

Answer 1

（I）证明：

          连接B₁C，与BC₁相交于O，连接OD

          ∵BCC₁B₁是矩形，

∴O是B₁C的中点.

又D是AC的中点，

∴OD//AB₁.………………………………………………2分

∵AB_­1面BDC_­1，OD面BDC₁，

∴AB₁//面BDC₁.…………………………………………4分

   （II）解：如力，建立空间直角坐标系，则

         C₁（0，0，0），B（0，3，2），C（0，3，0），A（2，3，0），

         D（1，3，0）……………………5分

         设=（x₁，y₁，z₁）是面BDC₁的一个法向量，则

即.…………6分

易知=(0，3，0)是面ABC的一个法向量.

.…………………………8分

∴二面角C₁—BD—C的余弦值为.………………………………9分

   （III）假设侧棱AA₁上存在一点P（2，y，0）（0≤y≤3），使得CP⊥面BDC₁.

         则

          ∴方程组无解.

∴假设不成立.

∴侧棱AA₁上不存在点P，使CP⊥面BDC₁.……………14分