Question

【题目】已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）证明：当时，.

Answer 1

【答案】（1）当时，函数在单调递增；当时，函数在单调递增，在单调递减（2）证明见解析；

【解析】

（1）根据，求导得到，结合函数的定义域，分和两种情况讨论求解.

（2）当时，，将证明，转化为证明成立，令，用导数法结合零点存在定理证明即可.

解法一：（1）因为，

所以，

当时，，即函数在单调递增；

当时，令，即，解得；

令，即，解得，

综上所述：当时，函数在单调递增；

当时，函数在单调递增，在单调递减.

（2）当时，，

欲证，只需证，即证明，

令，

所以，

令，已知函数在单调递增.

又，，所以存在唯一，使得，

所以当时，，即；

当时，，即；

所以函数在单调递减，在单调递增.

当时，，

因为，所以，所以，即，

所以不等式成立，即当时，.

解法二：（1）同解法一

（2）当时，，由（1）知：

在为增函数，在为减函数，

所以，所以，即.

欲证，只需证，即证，

即证，即只需证，

令，则，

令得；令得，

所以函数在为减函数，在为增函数，

所以，所以不等式成立，

即当时，.