题目内容
12、直角三角形ABC的直角边AB在平面α内，顶点C在平面α外，则直角边BC、斜边AC在α上的正投影与直角边AB组成的图形可以是下列的
①线段 ②锐角三角形 ③直角三角形 ④钝角三角形．
①③
①线段 ②锐角三角形 ③直角三角形 ④钝角三角形．
分析：分直角三角形ABC所在平面和平面α垂直和直角三角形ABC所在平面和平面α不垂直，两种情况分别找到对应图形，就可判断出正确答案．
解答：
解：当直角三角形ABC所在平面和平面α垂直时，AC在α上的正投影是点B，此时直角边BC、斜边AC在α上的正投影与直角边AB组成的图形是线段AB，故①对．
当直角三角形ABC所在平面和平面α不垂直时，设AC在α上的正投影是点0，此时直角边BC、斜边AC在α上的正投影与直角边AB组成的图形是三角形AOB，因为CO⊥平面α?CO⊥AB，又AB⊥BC．所以AB⊥平面BOC?AB⊥BO?△AOB为直角三角形，故③对．②④错．
故答案为 ①③．
解：当直角三角形ABC所在平面和平面α垂直时，AC在α上的正投影是点B，此时直角边BC、斜边AC在α上的正投影与直角边AB组成的图形是线段AB，故①对．当直角三角形ABC所在平面和平面α不垂直时，设AC在α上的正投影是点0，此时直角边BC、斜边AC在α上的正投影与直角边AB组成的图形是三角形AOB，因为CO⊥平面α?CO⊥AB，又AB⊥BC．所以AB⊥平面BOC?AB⊥BO?△AOB为直角三角形，故③对．②④错．
故答案为 ①③．
点评：本题利用点，线在平面上的投影来考查空间中直线和平面的位置关系，是对基础知识的考查，需要认真理解课本定义．
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