题目内容

定义在（-1，1）的函数f（x）满足：①对任意x，y∈（-1，1）都有f（x）+f（y）=f(
x+y
1+xy
)；②当0＜x＜1时，f（x）＞0．回答下列问题．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）判断函数f（x）在（-1，1）上的单调性，并说明理由；
（3）若f(
1
7
)=
1
3
，试求f(
2
3
)-f(
1
9
)-2f(
1
17
)的值．
（1）函数定义域为（-1，1）．令x=y=0得f（0）=0，
令y=-x，则有f（x）+f（-x）=0，得f（-x）=-f（x），
所以函数f（x）在区间（-1，1）上是奇函数．（3分）
（2）设-1＜x1＜x2＜1，
则f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(
x2-x1
1-x1x2
)
而x2-x1＞0，|x1||x2|＜1
∴1-x1x2＞0
∴
x2-x1
1-x1x2
＞0，
又因为1-x2＞0，1+x1＞0
∴（1-x2）（1+x1）=1-x1x2-x2+x1＞0，即1-x1x2＞x2-x1∴
x2-x1
1-x1x2
＜1
∴0＜
x2-x1
1-x1x2
＜1，
所以f(
x2-x1
1-x1x2
)＞0．即当x1＜x2时，f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在区间（-1，1）上是单调递增函数．（8分）
（3）由于f(
2
3
)-f(
1
7
)=f(
11
19
)即f(
2
3
)=f(
1
7
)+f(
11
19
)
∵f(
1
9
)+f(
1
7
)=f(
1
4
)即-f(
1
9
)=f(
1
7
)-f(
1
4
)
∵f(
1
17
)+f(
1
7
)=f(
1
5
)即-2f(
1
17
)=2f(
1
7
)-2f(
1
5
)
又∵f(
1
4
)+f(
1
5
)+f(
1
5
)=f(
3
7
)+f(
1
5
)=f(
11
19
)
∴f(
2
3
)-f(
1
9
)-2f(
1
17
)=f(
1
7
)+f(
1
19
)+f(
1
7
)-f(
1
4
)+2f(
1
7
)-2f(
1
5
)
∴f(
2
3
)-f(
1
9
)-2f(
1
17
)=4f(
1
7
)=
4
3
（14分）
练习册系列答案
相关题目
已知f（x）是定义在区间[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若m、n∈[-1，1]，m+n≠0时，有
f(m)+f(n)
m+n
＞0．
（1）证明函数f（x）在[-1，1]上单调递增；
（2）解不等式f（x+
1
2
）＜f（1-x）；
（3）若f（x）≤t2-2at+1对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求实数t的取值范围．
已知f（x）是定义在区间[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若m、n∈[-1，1]，m+n≠0时，有
f(m)+f(n)
m+n
＞0．
（1）证明函数f（x）在[-1，1]上单调递增；
（2）解不等式f（x+
1
2
）＜f（1-x）；
（3）若f（x）≤t2-2at+1对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求实数t的取值范围．
已知定义在区间[-1，1]上的函数为奇函数．．
（1）求实数b的值．
（2）判断函数f（x）在区间（-1，1）上的单调性，并证明你的结论．
（3）f（x）在x∈[m，n]上的值域为[m，n]（-1≤m＜n≤1 ），求m+n的值．
已知定义在区间[-1，1]上的函数为奇函数．．
（1）求实数b的值．
（2）判断函数f（x）在区间（-1，1）上的单调性，并证明你的结论．
（3）f（x）在x∈[m，n]上的值域为[m，n]（-1≤m＜n≤1 ），求m+n的值．
已知定义在区间[-1，1]上的函数为奇函数．．
（1）求实数b的值．
（2）判断函数f（x）在区间（-1，1）上的单调性，并证明你的结论．
（3）f（x）在x∈[m，n]上的值域为[m，n]（-1≤m＜n≤1 ），求m+n的值．

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