Question

下列区间中，函数f（x）=lgx+x的零点所在区间为（　　）

• A．（1，2）
• B．（

  1

  2

  ，1）
• C．（

  1

  10

  ，

  1

  2

  ）
• D．（0，

  1

  10

  ）

Answer 1

分析：利用导数先判断函数的单调性，再利用函数的零点的判定定理即可得出．

解答：解：∵函数y=x与y=lgx在区间（0，+∞）上单调递增，
∴函数f（x）=x+lgx在区间（0，+∞）上单调递增，
∴函数f（x）至多有一个零点．
∵f（2）=2+lg2＞0，f（1）=1＞0，f（

1

2

）=1+lg

1

2

=1-lg2＞0，f（

1

10

）=

1

10

+lg

1

10

=

1

10

-1＜0．
∴f（

1

10

）f（

1

2

）＜0，
根据函数零点的判定定理可知：函数f（x）在区间（

1

10

，

1

2

）内存在零点，又函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，所以函数f（x）只有一个零点且在区间（

1

10

，

1

2

）内．
故选：C．

点评：本题考查函数的零点的判定定理，函数的单调性的应用．