题目内容

已知函数f（x）=（2-a）lnx+ $数学公式$ +2ax（a∈R）．
（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值；
（Ⅱ）当a＜0时，求f（x）单调区间；
（Ⅲ）若对任意a∈（-3，-2）及x₁，x₂∈[1，3]，恒有（m+ln3）a-2ln3＞|f（x₁）-f（x₂）|成立，求实数m的取值范围．

解：（Ⅰ）依题意知f（x）的定义域为（0，+∞）
当a=0时，f（x）=2lnx+ $\text{[math]}$ ，f′（x）= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
令f′（x）=0，解得x= $\text{[math]}$ 当0＜x＜ $\text{[math]}$ 时，f′（x）＜0；
当x≥ $\text{[math]}$ 时，f′（x）＞0
又∵f（ $\text{[math]}$ ）=2-ln2
∴f（x）的极小值为2-2ln2，无极大值

（Ⅱ）f′（x）= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ +2a= $\text{[math]}$
当a＜-2时，- $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ，令f′（x）＜0，得0＜x＜- $\text{[math]}$ 或x＞ $\text{[math]}$ ，
令f′（x）＞0得- $\text{[math]}$ ＜x＜ $\text{[math]}$
当-2＜a＜0时，得- $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$ ，令f′（x）＜0得0＜x＜ $\text{[math]}$ 或x＞- $\text{[math]}$ ；
令f′（x）＞0得 $\text{[math]}$ ＜x＜- $\text{[math]}$ ；
当a=-2时，f′（x）=- $\text{[math]}$ ≤0
综上所述，当a＜-2时f（x），的递减区间为（0，- $\text{[math]}$ ）和（ $\text{[math]}$ ．+∞），递增区间为（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）；
当a=-2时，f（x）在（0，+∞）单调递减；
当-2＜a＜0时，f（x）的递减区间为（0， $\text{[math]}$ ）和（- $\text{[math]}$ ，+∞），递增区间为（ $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ）．
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当a∈（-3，-2）时，f（x）在区间[1，3]上单调递减．
当x=1时，f（x）取最大值；当x=3时，f（x）取最小值；
|f（x₁）-f（x₂）|≤f（1）-f（3）=（1+2a）-[（2-a）ln3+ $\text{[math]}$ +6a]= $\text{[math]}$ -4a+（a-2）ln3
∵（m+ln3）a-ln3＞|f（x₁）-f（x₂）|恒成立，∴（m+ln3）a-2ln3＞ $\text{[math]}$ -4a+（a-2）ln3
整理得ma＞ $\text{[math]}$ -4a，∵a＜0，∴m＜ $\text{[math]}$ -4恒成立，∵-3＜a＜-2，
∴- $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ -4＜- $\text{[math]}$ ，∴m≤- $\text{[math]}$
分析：（Ⅰ）当a=0时，f（x）=2lnx+ $\text{[math]}$ ，求导，令f′（x）=0，解方程，分析导数的变化情况，确定函数的极值；
（Ⅱ）当a＜0时，求导，对导数因式分解，比较两根的大小，确定函数f（x）单调区间；
（Ⅲ）若对任意a∈（-3，-2）及x₁，x₂∈[1，3]，恒有（m+ln3）a-2ln3＞|f（x₁）-f（x₂）|成立，求函数f（x）的最大值和最小值，解不等式，可求实数m的取值范围．
点评：考查利用导数研究函数的极值、单调性和最值问题，在求函数的单调区间时，体现了分类讨论的思想方法；恒成立问题，转化为函数的最值问题，体现了转化的思想．属难题．