题目内容
如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，E是AC中点．
（1）求证：平面BEC1⊥平面ACC1A1；
（2）若
，求二面角E-BC1-C的大小．
（1）证明：∵正三棱柱ABC-A1B1C1中，E是AC中点，∴BE⊥AC
∵侧棱AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥BE
∵AA1∩AC=A，∴BE⊥平面ACC1A1，
∵BE?平面BEC1，∴平面BEC1⊥平面ACC1A1；
（2）解：过点C作CH⊥C1E于点H，则CH⊥平面BEC1，
过H作HG⊥BC1于G，连接CG，由三垂线定理得CG⊥BC1，故∠CGH为二面角E-BC1-C的平面角
∵，∴当AA1=2a时，AB=2
a时，∴C1E=
a，∴CH=
=
∵BC1=2
a，∴CG=
=
∴在直角△CGH中，sin∠CGH=
=
根据图形可得，二面角E-BC1-C的平面角为45°
分析：（1）先证明BE⊥平面ACC1A1，再利用面面垂直的判定定理，可证平面BEC1⊥平面ACC1A1；
（2）作出二面角E-BC1-C的平面角，再利用三角函数，即可求得结论．
点评：本题考查面面垂直，考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，正确作出面面角是关键．
∵侧棱AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥BE
∵AA1∩AC=A，∴BE⊥平面ACC1A1，
∵BE?平面BEC1，∴平面BEC1⊥平面ACC1A1；
（2）解：过点C作CH⊥C1E于点H，则CH⊥平面BEC1，
过H作HG⊥BC1于G，连接CG，由三垂线定理得CG⊥BC1，故∠CGH为二面角E-BC1-C的平面角
∵
，∴当AA1=2a时，AB=2a时，∴C1E=a，∴CH==∵BC1=2
a，∴CG==∴在直角△CGH中，sin∠CGH=
=根据图形可得，二面角E-BC1-C的平面角为45°
分析：（1）先证明BE⊥平面ACC1A1，再利用面面垂直的判定定理，可证平面BEC1⊥平面ACC1A1；
（2）作出二面角E-BC1-C的平面角，再利用三角函数，即可求得结论．
点评：本题考查面面垂直，考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，正确作出面面角是关键．
练习册系列答案
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| ||
C、
| ||
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|
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