Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，曲线：，（为参数），将曲线上的所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标缩短为原来的后得到曲线，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为。

（1）求曲线的极坐标方程和直线l的直角坐标方程；

（2）设直线l与曲线交于不同的两点A，B，点M为抛物线的焦点，求的值。

Answer 1

【答案】（1），（2）

【解析】

（1）由曲线的参数方程得到普通方程，经变化后得到曲线：，化为极坐标即可，利用两角差的正弦公式可得直线的极坐标方程为，进而可化为直角坐标方程；（2）写出直线的参数方程，将直线代入到圆的方程中，利用参数的几何意义结合韦达定理即可得结果.

解：（1）将曲线：(为参数)，消参得，

经过伸缩变换后得曲线：，

化为极坐标方程为，

将直线的极坐标方程为，即，

化为直角坐标方程为．

（2）由题意知在直线上，又直线的倾斜角为，

所以直线的参数方程为（为参数）

设对应的参数分别为，，

将直线的参数方程代入中，得．

因为在内，所以恒成立，

由韦达定理得

所以．