题目内容

设向量
a
=(cos
3θ
2
，  sin
3θ
2
)，
b
=(cos
θ
2
，  -sin
θ
2
)，其中θ∈[0，  
π
3
]．
（1）求
a
•
b
|
a
+
b
|
的最大值和最小值；
（2）若|k
a
+
b
|=
3
|
a
-k
b
|，求实数k的取值范围．
分析：（1）利用向量的数量积公式求出
a
•
b
，利用向量的坐标运算和向量模的平方等于向量的平方求出
a
•
b
|
a
+
b
|
的值
（2）将已知等式平方，得到关于k，θ的等式，利用三角函数的有界性，列出关于k的不等式，解不等式求出k的范围．
解答：解：（1）
a
•
b
=(cos
3θ
2
，  sin
3θ
2
)•(cos
θ
2
，  -sin
θ
2
)=cos
3θ
2
cos
θ
2
-sin
3θ
2
sin
θ
2
=cos2θ．
|
a
+
b
|=
(
a
+
b
)2
=2cosθ
于是
a
•
b
|
a
+
b
|
=
cos2θ
2cosθ
=
2cos2θ-1
2cosθ
=cosθ-
1
2cosθ
．
因为θ∈[0，  
π
3
]，所以cosθ∈[
1
2
，  1]．
故当cosθ=
1
2
即θ=
π
3
时，
a
•
b
|
a
+
b
|
取得最小值-
1
2
；当cosθ=1即θ=0时，
a
•
b
|
a
+
b
|
取得最大值
1
2
．
（2）由|k
a
+
b
|=
3
|
a
-k
b
|得
|k
a
+
b
|2=3|
a
-k
b
|2?k2+1+2kcos2θ=3(1+k2)-6kcos2θ?cos2θ=
k2+1
4k
．
因为θ∈[0，  
π
3
]，所以-
1
2
≤cos2θ≤1．
不等式-
1
2
≤
k2+1
4k
≤1?
(k-1)2
4k
≥0   
k2-4k+1
4k
≤0

解得2-
3
≤k≤2+
3
或k=-1，
故实数k的取值范围是[2-
3
，  2+
3
]∪{-1}．
点评：解决向量的数量积问题：要考虑数量积的坐标形式的公式及向量的模、夹角形式的公式；解决有关向量的模的问题，一般将向量的模平方：利用向量模的平方等于向量的平方，再利用向量的运算法则解决．
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a
=(cos
3θ
2
，  sin
3θ
2
)，
b
=(cos
θ
2
，  -sin
θ
2
)，其中θ∈[0，  
π
3
]．
（1）求
a
•
b
|
a
+
b
|
的最大值和最小值；
（2）若|k
a
+
b
|=
3
|
a
-k
b
|，求实数k的取值范围．

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