Question

已知函数f（x）=x²+（m+1）x+m+n+1，若f（0）＞0且f（1）＜0，则u=

m2+n2

mn

的取值范围是（　　）

• A．(-

  5

  2

  ，-2]
• B．（-∞，-2]
• C．(-

  5

  2

  ，-2)
• D．(-

  5

  2

  ，0)

Answer 1

分析：结合f（0）＞0且f（1）＜0，列出不等式组，画出不等式表示的可行域，u=

m2+n2

mn

=

1

n m

+

n

m

，

n

m

表示可行域内的点到原点的斜率，结合图求出u的范围．

解答：解：函数f（x）=x²+（m+1）x+m+n+1，
∵f（0）＞0且f（1）＜0，
∴

f(0)=m+n+1＞0 f(1)= 2m+n+3＜0

画出不等式表示的平面区域，u=

m2+n2

mn

=

1

n m

+

n

m

，
其中

n

m

表示可行域内的点P到原点O的斜率k_OP，
由图知当点P在A点处时，斜率k_OP取得上边界，上边界为：-

1

2

，
当直线OP平行于直线2m+n+3=0时，斜率k_OP取得下边界，下边界：-2，
即

n

m

∈（-2，-

1

2

），
∴

1

n m

+

n

m

∈（-

5

2

，-1]，
故选A．

点评：本题考查一元二次方程的根的分布，简单线性规划的应用、函数单调性求最值等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．