题目内容
如图，已知菱形ABCD的边长为6，∠BAD=60°，AC∩BD=O，将菱形ABCD沿对角线AC折起，使BD=3
，得到三棱锥B-ACD
（1）若CM=2MB，求证：直线OM与平面ABD不平行；
（2）求二面角A-BD-O的余弦值；
（3）设点N是线段BD上一个动点，试确定N点的位置，使得CN=4
，并证明你的结论．
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（1）若CM=2MB，求证：直线OM与平面ABD不平行；
（2）求二面角A-BD-O的余弦值；
（3）设点N是线段BD上一个动点，试确定N点的位置，使得CN=4
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考点：与二面角有关的立体几何综合题,空间中直线与平面之间的位置关系
专题：空间位置关系与距离,空间角
分析：（1）先证明M是棱BC的中点时，OM∥平面ABD，而而CM=2MB，∴直线OM与平面ABD不平行；
（2）向量法解决，求出两半平面的法向量，求其夹角；
（3）因为N是线段BD上一个动点，设N（x1，y1，z1），
=λ
，
=（3
，3λ，3-3λ），由CN=4
，得
=4
，即9λ2-9λ+2=0，解得λ=
或λ=
，
（2）向量法解决，求出两半平面的法向量，求其夹角；
（3）因为N是线段BD上一个动点，设N（x1，y1，z1），
| BN |
| BD |
| CN |
| 3 |
| 2 |
| 27+9λ2+(3-3λ)2 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
解答：
（1）证明：因为点O是菱形ABCD的对角线的交点，
所以O是AC的中点，
若M是棱BC的中点，
所以OM是△ABC的中位线，OM∥AB，
因为OM?平面ABD，AB?平面ABD，
所以OM∥平面ABD．
而CM=2MB，
∴直线OM与平面ABD不平行；
（2）解：由题意，OB=OD=3，
因为BD=3
，所以∠BOD=90°，OB⊥OD，
又因为菱形ABCD，所以OB⊥AC，OD⊥AC，
建立空间直角坐标系O-xyz，如图所示，
A（3
，0，0），D（0，3，0），B（0，0，3），
所以
=（-3
，0，3），
=（-3
，3，0），
设平面ABD的法向量为
=（x，y，z），
则有
即：
，
令x=1，则y=
，z=
，所以
=（1，
，
），
因为AC⊥OB，AC⊥OD，所以AC⊥平面BOD，
平面BOD的法向量与AC平行，
所以平面BOD的法向量为
=（1，0，0），
cos＜
，
＞=
=
=
，
因为二面角A-BD-O是锐角，
所以二面角A-BD-O的余弦值为
．
（3）解：因为N是线段BD上一个动点，设N（x1，y1，z1），
=λ
，
则（x1，y1，z1-3）=λ（0，3，-3），
所以x1=0，y1=3λ，z1=3-3λ，
则N（0，3λ，3-3λ），
=（3
，3λ，3-3λ），
由CN=4
，得
=4
，即9λ2-9λ+2=0，
解得λ=
或λ=
，
所以N点的坐标为（0，2，1）或（0，1，2）．
所以O是AC的中点，若M是棱BC的中点，
所以OM是△ABC的中位线，OM∥AB，
因为OM?平面ABD，AB?平面ABD，
所以OM∥平面ABD．
而CM=2MB，
∴直线OM与平面ABD不平行；
（2）解：由题意，OB=OD=3，
因为BD=3
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又因为菱形ABCD，所以OB⊥AC，OD⊥AC，
建立空间直角坐标系O-xyz，如图所示，
A（3
| 3 |
所以
| AB |
| 3 |
| AD |
| 3 |
设平面ABD的法向量为
| n |
则有
|
|
令x=1，则y=
| 3 |
| 3 |
| n |
| 3 |
| 3 |
因为AC⊥OB，AC⊥OD，所以AC⊥平面BOD，
平面BOD的法向量与AC平行，
所以平面BOD的法向量为
| n0 |
cos＜
| n0 |
| n |
| ||||
|
|
| 1 | ||
1×
|
| ||
| 7 |
因为二面角A-BD-O是锐角，
所以二面角A-BD-O的余弦值为
| ||
| 7 |
（3）解：因为N是线段BD上一个动点，设N（x1，y1，z1），
| BN |
| BD |
则（x1，y1，z1-3）=λ（0，3，-3），
所以x1=0，y1=3λ，z1=3-3λ，
则N（0，3λ，3-3λ），
| CN |
| 3 |
由CN=4
| 2 |
| 27+9λ2+(3-3λ)2 |
| 2 |
解得λ=
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
所以N点的坐标为（0，2，1）或（0，1，2）．
点评：本题给出平面折叠问题，求证线面平行、二面角并求空间距离，着重考查了线面平行判定定理、二面角的平面角的求法和空间距离等知识，属于中档题．
练习册系列答案
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