Question

5．已知双曲线$C：\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{3}=1$，其右顶点为P．
（1）求以P为圆心，且与双曲线C的两条渐近线都相切的圆的标准方程；
（2）设直线l过点P，其法向量为$\overrightarrow{n}$=（1，-1），若在双曲线C上恰有三个点P₁，P₂，P₃到直线l的距离均为d，求d的值．

Answer 1

分析 （1）利用点到直线的距离公式，求出圆的半径，即可求出圆的标准方程；
（2）求出与直线l平行，且与双曲线消去的直线方程，即可得出结论．

解答 解：（1）由题意，P（2，0），双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，P到渐近线的距离d=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{\frac{3}{4}+1}}$=$\sqrt{\frac{12}{7}}$，
∴圆的标准方程为（x-2）²+y²=$\frac{12}{7}$；
（2）由题意，直线l的斜率为1，设与直线l平行的直线方程为y=x+m，代入双曲线方程整理可得x²+8mx+4m²+12=0，△=64m²-4（4m²+12）=0，可得m=±1，
与直线l：y=x+2的距离分别为$\frac{1}{\sqrt{2}}$或$\frac{3}{\sqrt{2}}$，即d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$或$\frac{3\sqrt{2}}{2}$

点评 本题考查双曲线的方程与性质，考查圆的方程，考查直线与双曲线位置关系的运用，属于中档题．