Question

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点，，若点C满足，点C的轨迹与抛物线交于A、B两点．

（I）求证：；

（II）在轴正半轴上是否存在一定点，使得过点P的任意一条抛物线的弦的长度是原点到该弦中点距离的2倍，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

I）证明见解析

（II）．                            

解析:

（I）设，由知，点C的轨迹为．2分

由消y得：．设，．

则，，               

所以,所以, 于是．                   7分

（II）假设存在过点P的弦EF符合题意，则此弦的斜率不为零，设此弦所在直线的方程为

．由消x得：．

设，，则，．              

因为过点P作抛物线的弦的长度是原点到弦的中点距离的2倍，所以

即，所以得，

所以存在．