Question

盒子中装有大小相同的2只红球，4只黑球，n（n≥3）只白球．规定：一次摸出3只球，如果这3只球是同色的，就奖励10元，否则罚款2元．某人摸一次球，他获奖励10元的概率为p．
（1）当n=4时，
（i）若某人摸一次球，求他获奖励10元的概率；
（ii）若有10人参加摸球游戏，每人摸一次，摸后放回，记随机变量ξ为获奖励的人数．求P（ξ＞1），和这10人所得总钱数的期望．（结果用分数表示，参考数据：(

14

15

)10≈

1

2

）
（2）记某人三次摸球恰有一次中奖10元的概率为f（p），问当n为何值时，f（p）取得最大值．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,相互独立事件的概率乘法公式

专题：概率与统计

分析：（1）（i）某人摸一次球，利用古典概型概率计算公式能求出他获奖励10元的概率．
（ii）由题意知ξ～B（10，

1

15

），由此能求出P（ξ＞1）和这10人所得总钱数的期望．
（2）三次摸球恰有一次中奖10元的概率为f(p)=

C

1 3

p(1-p)2=3p3-6p2+3p，0＜p＜1，由此能求出当n=14时，f（p）取最大值．

解答： （本小题满分14分）
解：（1）（i）某人摸一次球，他获奖励10元的概率：
p=

2 C 3 4

C 2 10

=

1

15

．
（ii）由题意知ξ～B（10，

1

15

），
则P（ξ＞1）=1-P（ξ=0）-P（ξ=1）
=1-（

14

15

）¹⁰-

C

1 10

×

1

15

×(

14

15

)9
=

1

7

．
设η为在一局中的输赢，则Eη=

1

15

×10-

14

15

×2=-

6

5

，
∴E（10η）=10Eη=10×（-

6

5

）=-12．
（2）摸一次球中奖10元的概率为p=

C 3 4 + C 3 n

C 3 n+6

（n≥3）
三次摸球恰有一次中奖10元的概率为：
f(p)=

C

1 3

p(1-p)2=3p3-6p2+3p，0＜p＜1，
f'（p）=9p²-12p+3=3（p-1）（3p-1），0＜p＜1
∴f（p）在(0，

1

3

)是增函数，在(

1

3

，1)是减函数，
将n=3，4，5…分别代入p=

C 3 4 + C 3 n

C 3 n+6

知：
当3≤n≤13时，p的值递增，
且当n=13时，p=

C 3 4 + C 3 13

C 3 19

=0.299，
f(0.299)=

C

1 3

0.299×(1-0.299)2=0.441
当n=14时，p=

C 3 4 + C 3 14

C 3 20

=0.323，
f(0.323)=

C

1 3

0.323×(1-0.323)2=0.444
所以当n=14时，f（p）取最大值．…（14分）

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，是中档题．