Question

在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，-1），B点在直线y=-3上，M点满足∥，，=•，M点的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处得切线，求O点到l距离的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设M（x，y），由已知得B（x，-3），A（0，-1）并代入∥，，=•，即可求得M点的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设P（x，y）为C上的点，求导，写出C在P点处的切线方程，利用点到直线的距离公式即可求得O点到l距离，然后利用基本不等式求出其最小值．
解答：解：（Ⅰ）设M（x，y），由已知得B（x，-3），A（0，-1）．
所=（-x，-1-y），=（0，-3-y），=（x，-2）．
再由题意可知（）•=0，即（-x，-4-2y）•（x，-2）=0．
所以曲线C的方程式为y=-2．

（Ⅱ）设P（x，y）为曲线C：y=-2上一点，因为y′=x，所以l的斜率为x，
因此直线l的方程为y-y=x（x-x），即xx-2y+2y-x²=0．
则o点到l的距离d=．又y=-2，
所以d==≥2，
所以x²=0时取等号，所以O点到l距离的最小值为2．
点评：此题是个中档题．考查向量与解析几何的交汇点命题及代入法求轨迹方程，以及导数的几何意义和点到直线的距离公式，综合性强，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．