Question

（2012•安徽模拟）已知函数y=a^2x-4+1（a＞0且a≠1）的图象过定点A，且点A在直线

x

m

+

y

n

=1(m，n＞0)上，则m+n的最小值为

8

．

Answer 1

分析：由题意可得定点A（2，2），于是有

2

m

+

2

n

=1（m＞0，n＞0），由基本不等式即可求得m+n的最小值．

解答：解：当x=2时，y=a^2×2-4+1=2，
∴函数y=a^2x-4+1（a＞0且a≠1）的图象过定点A（2，2），又点A在直线

x

m

+

y

n

=1（m＞0，n＞0）上，
∴

2

m

+

2

n

=1（m＞0，n＞0），
∴m+n=（m+n）•（

2

m

+

2

n

）=2+2+

2n

m

+

2m

n

≥4+2

2n m • 2m n

=4（当且仅当m=n=4时取“=”）．
故答案为：8．

点评：本题考查指数函数的特殊点与基本不等式，利用指数函数的性质得到定点A（2，2）是关键，考查熟练应用基本不等式的能力，属于基础题．