Question

已知数列a₁，a₂，…，a₃₀，其中a₁，a₂，…，a₁₀是首项为1，公差为1的等差数列；a₁₀，a₁₁，…，a₂₀是公差为d的等差数列；a₂₀，a₂₁，…，a₃₀是公差为d²的等差数列（d≠0）．
（1）若a₂₀=40，求d；
（2）试写出a₃₀关于d的关系式，并求a₃₀的取值范围；
（3）续写已知数列，使得a₃₀，a₃₁，…，a₄₀是公差为d³的等差数列．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意可得a₁₀，根据a₂₀的值，可得d的值；（2）由a₂₀，a₂₁，…a₃₀，是公差为d²的等差数列，利用等差数列的性质表示出a₃₀是关于d的二次函数，根据d不等于0，利用二次函数即可求出a₃₀的取值范围；（3）根据题意归纳出：当n=3时，a₃₀，a₃₁，…，a₄₀是公差为d³的等差数列．
解答：解：（1）由题意可得a₁₀=1+9=10，a₂₀=10+10d=40，∴d=3．
（2）a₃₀=a₂₀+10d²=10（1+d+d²）（d≠0），
a₃₀=10[]，由二次函数的性质可知：
当d∈（-∞，0）∪（0，+∞）时，a₃₀∈[7.5，+∞）
（3）所给数列可推广为无穷数列{a_n]，
其中a₁，a₂，…，a₁₀是首项为1，公差为1的等差数列，
当n≥1时，数列a_10n，a_10n+1，…，a_10（n+1）是公差为dⁿ的等差数列．
当n=3时，可得a₃₀，a₃₁，…，a₄₀是公差为d³的等差数列．
点评：本题考查学生灵活运用等差数列的性质解决实际问题，会根据特例总结归纳出一般性的规律，属中档题．