Question

已知数列a₁，a₂，…a_n，…和数列b₁，b₂，…，b_n…，其中a₁=p，b₁=q，a_n=pa_n-1，b_n=qa_n-1+rb_n-1（n≥2），（p，q，r是已知常数，且q≠0，p＞r＞0），用p，q，r，n表示b_n，并用数学归纳法加以证明．

Answer 1

分析：先根据a_n=pa_n-1求出a_n的表达式，然后代入n=1，2，3进行求出b₁、b₂、b₃的式子，猜想bn=

q(pn-rn)

p-r

．然后用数学归纳法分3步进行证明．

解答：解：∵a₁=p，a_n=pa_n-1，
∴a_n=pⁿ．又b₁=q，
b₂=qa₁+rb₁=q（p+r），
b₃=qa₂+rb₂=q（p²+pq+r²），
设想bn=q(pn-1+pn-2r+…+rn-1)=

q(pn-rn)

p-r

．
用数学归纳法证明：
当n=2时，b2=q(p+r)=

q(p2-r2)

p-r

，等式成立；
设当n=k时，等式成立，即bk=

q(pk-rk)

p-r

，
则b_k+1=qa_k+rb_k=qpk+

rq(pk-rk)

p-r

=

q(pk+1-rk+1)

p-r

，
即n=k+1时等式也成立，
所以对于一切自然数n≥2，bn=

q(pn-rn)

p-r

都成立．

点评：本题主要考查数列通项公式的求法和数学归纳法的证明．考查综合运用能力．