Question

如图，过抛物线y²＝2PX(P>0)的焦点F的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向准线L作垂线，垂足分别为M₁、N₁    

(Ⅰ)求证：FM₁⊥FN₁:

(Ⅱ)记△FMM_1、、△FM₁N₁、△FN N₁的面积分别为S^1、、S^2、，S³，试判断S²₂＝4S₁S₃是否成立，并证明你的结论。

 

Answer 1

 

（1）       证法1：由抛物线的定义得

  

               2分

如图，设准线l与x的交点为

而

即

故

证法2：依题意，焦点为准线l的方程为

设点M,N的坐标分别为直线MN的方程为，则有

由  得

于是，，

，故

（Ⅱ）成立，证明如下：

证明：设，则由抛物线的定义得

，于是

将与代入上式化简可得 

，此式恒成立。

故成立。