Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx在x=-

2

3

与x=1处都取得极值．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）在区间[-2，2]的最大值与最小值．

Answer 1

（1）f（x）=x³+ax²+bx，f′（x）=3x²+2ax+b        
由f′（-

2

3

）=

12

9

-

4

3

a+b=0，f′（1）=3+2a+b=0   
得a=-

1

2

，b=-2                    
经检验，a=-

1

2

，b=-2符合题意
所以，所求的函数解析式为f(x)=x3-

1

2

x2-2x
（2）由（1）得f′（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1），
列表

x	（-2，- 2 3 ）	- 2 3	（- 2 3 ，1）	1	（1，2）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	极大值	↓	极小值	↑

且f(-2)=-6，f(-

2

3

)=

22

27

，f(1)=-

3

2

，f(0)=0所以当x∈[-2，2]时，f(x)max=f(-

2

3

)=

22

27

，f(x)min=f(-2)-6