Question

设{a_n}是公差不为零的等差数列，S_n为其前n项和，满足S₄=8且a₁、a₂、a₅成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}满足：，n∈N^*，T_n为数列{b_n}的前n项和，问是否存在正整数n，使得T_n=2012成立？若存在，求出n；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（I）设数列{a_n}的公差为d，且d≠0
∵S₄=8且a₁、a₂、a₅成等比数列，
∴
解得或（舍去）…（3分）
∴…（6分）
（II）由题知：=，
∴T_n=2²+2³+…+2^n-1+= …（10分）
若T_n=2012，则=2012，即n²+2ⁿ⁺³=4032
令f（n）=n²+2ⁿ⁺³，知f（n）单调递增，
当1≤n≤8时，f（n）≤8²+2¹¹=2112＜4032
当n≥9时，f（n）≥9²+2¹²=4177＞4032，
故不存在正整数n，使得T_n=2012成立． …（14分）
分析：（I）设数列{a_n}的公差为d，且d≠0，利用S₄=8且a₁、a₂、a₅成等比数列，建立方程组，求出基本量，即可求得数列的通项；
（II）确定数列的通项，求出数列{b_n}的前n项和，进而可结论．
点评：本题考查数列的通项与求和，考查基本量法的运用，属于中档题．