Question

（2013•广元二模）已知圆O：x²+y²=1，点O为坐标原点，一条直线l：y=kx+b（b＞0）与圆O相切并与椭圆

x2

2

+y2=1交于不同的两点A、B．
（1）设b=f（k），求f（k）的表达式；
（2）若

OA

•

OB

=

2

3

，求直线l的方程；
（3）若

OA

•

OB

=m(

2

3

≤m≤

3

4

)，求三角形OAB面积的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据y=kx+b（b＞0）与圆x²+y²=1相切，可得

|b|

1+k2

=1，即可求f（k）的表达式；
（2）直线与椭圆方程联立，

y=kx+b x2 2 +y2=1

，利用韦达定理及

OA

•

OB

=

2

3

，即可求得直线l的方程；
（3）确定

1

2

≤k2≤1，利用弦长公式，求|AB|，从而可求△OAB面积的取值范围．

解答：解：（1）∵y=kx+b（b＞0）与圆x²+y²=1相切，
∴

|b|

1+k2

=1，即b²=k²+1（k≠0），
∴b=

k2+1

…（4分）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则由

y=kx+b x2 2 +y2=1

，消去y得：（2k²+1）x²+4kbx+2b²-2=0
又△=8k²＞0（∵k≠0），所以x1+x2=-

4kb

2k2+1

，x1x2=

2b2-2

2k2+1

．…（6分）
则

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=

k2+1

2k2+1

．
由

OA

•

OB

=

2

3

，所以k²=1．
∴b²=2．∵b＞0，∴b=

2

，
∴l：y=x+

2

，y=-x+

2

．…（9分）
（3）由（2）知：

k2+1

2k2+1

=m．
∵

2

3

≤m≤

3

4

，∴

2

3

≤

k2+1

2k2+1

≤

3

4

，∴

1

2

≤k2≤1，
由弦长公式得|AB|=

k2+1

•

2 2k2

2k2+1

，所以S=

1

2

|AB|=

2k2(k2+1)

2k2+1

，
设2k²+1=t，∴2≤t≤3，S=

2

2

1- 1 t2

∴

6

4

≤S≤

2

3

．…（14分）

点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查三角形的面积的计算，解题的关键是利用直线与圆的位置关系，属于中档题．