Question

椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的两焦点为F₁，F₂，P为椭圆上的点，若使∠F₁PF₂=90°的P点有四个不同的位置，则离心率e的范围

(

2

2

，1)

．

Answer 1

分析：由椭圆的几何性质可知，当点P位于（0，b）或（0，-b）处时，∠F₁PF₂最大，欲使∠F₁PF₂=90°的P点有四个不同的位置，必须∠F₁PF₂＞90°，此时 cos∠F1PF2=

a2+a2-4c2

2a2

=

a2-2c2

a2

＜0，∴a＜

2

c，由此能够推导出该椭圆的离心率的取值范围．

解答：解：由题意可知，当点P位于（0，b）或（0，-b）处时，∠F₁PF₂最大，
由条件：使∠F₁PF₂=90°的P点有四个不同的位置，必须∠F₁PF₂＞90°，
故 cos∠F1PF2=

a2+a2-4c2

2a2

=

a2-2c2

a2

＜0，⇒a＜

2

c，
∴e=

c

a

＞

2

2

，
又∵0＜e＜1，∴1＞e＞

2

2

．
故答案为：(

2

2

，1)．

点评：本题考查椭圆的性质及其应用、余弦定理等基础知识，正确解题的关键是知道当点P位于（0，b）或（0，-b）处时，∠F₁PF₂最大．