题目内容

设 A（x1，y1）、B（x2，y2）是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上的两点，O为坐标原点，向量
m
=(
x1
a
，
y1
b
)，
n
=(
x2
a
，
y2
b
)且
m
•
n
=0．
（1）若A点坐标为（a，0），求点B的坐标；
（2）设
OM
=cosθ•
OA
+sinθ•
OB
，证明点M在椭圆上；
（3）若点P、Q为椭圆 上的两点，且
PQ
∥
OB
，试问：线段PQ能否被直线OA平分？若能平分，请加以证明；若不能平分，请说明理由．
分析：（1）将x1=a，y1=0代入（
x1
a
，
y1
b 
）•（
x2
a
，
y2
b 
）=0，得（1，0）•（
x2
a
，
y2
b 
）=0，由此能求出点B的坐标．
（2）因（
x1
a
，
y1
b 
）•（
x2
a
，
y2
b 
）=0，所以
x1x2
a2
+
y1y2
b2
=0，又因A（x1，y1），B（x2，y2）在椭圆上，所以
x12
a2
+
y12
b2
=1，
x22
a2
+
y22
b2
=1
OM
=cosθ
OA
+sinθ
OB
=（x1cosθ+x2sinθ，y1cosθ+y2sinθ），由此能够证明所以点M在椭圆上．
（3）设点P（m1，n1）Q（m2，n2），则
PQ
=(m2-m1，n2-n1)，且
m
2
1
a2
+
n
2
1
b2
=1，
m
2
2
a2
+
n
2
2
b2
=1，所以
(m1-m2)(m1+m2)
a2
+
(n1-n2)(n1+n2)
b2
=0，故
PQ
⊥(
m1+m2
a2
，
n1+n2
b2
)，由此能够导出线段PQ被直线OA平分．
解答：解：（1）将x1=a，y1=0代入（
x1
a
，
y1
b 
）•（
x2
a
，
y2
b 
）=0，得（1，0）•（
x2
a
，
y2
b 
）=0，
所以x2=0，y2=±b，即点B的坐标为（0，±b）．
（2）因（
x1
a
，
y1
b 
）•（
x2
a
，
y2
b 
）=0，所以
x1x2
a2
+
y1y2
b2
=0，
又因A（x1，y1），B（x2，y2）在椭圆上，所以
x12
a2
+
y12
b2
=1，
x22
a2
+
y22
b2
=1
OM
=cosθ
OA
+sinθ
OB
=（x1cosθ+x2sinθ，y1cosθ+y2sinθ）
把M点坐标代入椭圆方程左边得：
(x1cosθ+x2sinθ)2
a2
+
(y1cosθ+sinθ)2
b2
=
x12cos2θ+x22sin2θ
a2
+
y12cos2θ+y22sin2θ
b2
+2sinθcosθ(
x1x2
a2
+
y2y2
b2
)=cos2θ+sin2θ+2sinθcosθ×0=1所以点M在椭圆上．
（3）设点P（m1，n1）Q（m2，n2），则
PQ
=(m2-m1，n2-n1)
且
m
2
1
a2
+
n
2
1
b2
=1，
m
2
2
a2
+
n
2
2
b2
=1
所以
(m1-m2)(m1+m2)
a2
+
(n1-n2)(n1+n2)
b2
=0，
故有(m1-m2，n1-n2)•(
m1+m2
a2
，
n1+n2
b2
)=0
即
PQ
⊥(
m1+m2
a2
，
n1+n2
b2
)
又
PQ
∥
OB
，而
OB
=(x2，y2)，得(x2，y2)•(
m1+m2
a2
，
n1+n2
b2
)=0（A）
又由
x1x2
a2
+
y1y2
b2
=0，得(x2，y2)•(
x1
a2
，
y1
b2
)=0，（B）
所以由（A）（B）得(
m1+m2
a2
，
n1+n2
b2
)=λ(
x1
a2
，
y1
b2
)，
即(
m1+m2
2
，
n1+n2
2
)=
λ
2
(x1，y1)
故线段PQ被直线OA平分．
点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化．
练习册系列答案
相关题目
已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，直线l过点F交抛物线C于A、B两点．
（Ⅰ）设A（x1，y1），B（x2，y2），求
1
y1
+
1
y2
的取值范围；
（Ⅱ）是否存在定点Q，使得无论AB怎样运动都有∠AQF=∠BQF？证明你的结论．
设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数f(x)=
1
2
+log2
x
1-x
的图象上两点，且
OM
=
1
2
(
OA
+
OB
)，O为坐标原点，已知点M的横坐标为
1
2
．
（Ⅰ）求证：点M的纵坐标为定值；
（Ⅱ）定义定义Sn=
n-1
i=1
f(
i
n
)=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)，其中n∈N*且n≥2，求S2011；
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的Sn，设an=
1
2Sn+1
(n∈N*)．若对于任意n∈N*，不等式kan3-3an2+1＞0恒成立，试求实数k的取值范围．
设A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)上的两点，已知O为坐标原点，椭圆的离心率e=
3
2
，短轴长为2，且
m
=(
x1
b
，
y1
a
)，
n
=(
x2
b
，
y2
a
)，若
m
•
n
=0．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c）（c为半焦距），求△AOB的面积．
设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数f（x）=
1
2
+log2
x
1-x
图象上任意两点，且
OM
=
1
2
（
OA
+
OB
），已知点M的横坐标为
1
2
，且有Sn=f（
1
n
）+f（
2
n
）+…+f（
n-1
n
），其中n∈N*且n≥2，
（1）求点M的纵坐标值；
（2）求s2，s3，s4及Sn；
（3）已知an=
1
(Sn+1)(Sn+1+1)
，其中n∈N*，且Tn为数列{an}的前n项和，若Tn≤λ（Sn+1+1）对一切n∈N*都成立，试求λ的最小正整数值．
设A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）是抛物线y=x2上的三个动点，其中x3＞x2≥0，△ABC是以B为直角顶点的等腰直角三角形．
（1）求证：直线BC的斜率等于x2+x3，也等于
x2-x1x3-x2
；
（2）求A、C两点之间距离的最小值．

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