Question

15．已知函数f（x）=ln（x+1）-ax（a∈R）．
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的最大值；
（Ⅱ）是否存在实数a，使得关于x的不等式f（x）＜0在（0，+∞）上恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）求证：（$\frac{1}{n}$+1）ⁿ＜e，n∈N^*（其中e为自然对数的底数）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数g（x）的导数，确定函数的单调区间，得到f（x）的最大值；
（Ⅱ）求出f（x）的导数，通过讨论a的符号，判断函数f（x）的单调区间，从而求出a的范围即可；
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知ln（x+1）＜x在（0，+∞）上恒成立，所以$\frac{ln（x+1）}{x}＜1$在（0，+∞）上恒成立，即可证明结论．

解答 （Ⅰ）解：f（x）的定义域为（-1，+∞）．
当a=1时，f（x）=ln（x+1）-x，$f'（x）=-\frac{x}{x+1}$．
当-1＜x＜0时，f'（x）＞0；当x＞0时，f'（x）＜0．
所以，函数f（x）在（-1，0）上是增函数，在（0，+∞）上是减函数．
所以，当x=0时，f（x）取得最大值f（0）=0．…（4分）
（Ⅱ）解：$f'（x）=\frac{1}{x+1}-a$．
（1）若a≥1，则$f'（x）=\frac{1}{x+1}-a＜0$，f（x）在（0，+∞）上单调递减，
∴f（x）＜f（0）=0在（0，+∞）上恒成立；
（2）若a≤0，则$f'（x）=\frac{1}{x+1}-a＞0$，f（x）在（0，+∞）上单调递增，
f（x）＞f（0）=0，不符合题意．
（3）证明：若0＜a＜1，则$f'（x）=\frac{{-a[x-（\frac{1}{a}-1）]}}{x+1}$，且$\frac{1}{a}-1＞0$．
当$x∈（0，\frac{1}{a}-1）$时，f'（x）＞0，f（x）在$（0，\frac{1}{a}-1）$上单调递增，
此时f（x）＞f（0）=0，不符合题意．
综上，所求a的取值范围[1，+∞）．…（8分）
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知ln（x+1）＜x在（0，+∞）上恒成立，
所以$\frac{ln（x+1）}{x}＜1$在（0，+∞）上恒成立．
于是$ln{（x+1）^{\frac{1}{x}}}＜1$，所以${（x+1）^{\frac{1}{x}}}＜e$．
取$x=\frac{1}{n}$，得${（\frac{1}{n}+1）^n}＜e$．…（14分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查不等式的证明，是一道综合题．