Question

5．设x＞0，f（x）=e^ax-x
（I）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）当a=1时，证明：f（x）＞$\frac{{x}^{2}}{2}$+1；
（Ⅲ）若e^x=1+x+$\frac{1}{2}$x²e^y，证明：0＜y＜x．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，判断函数的单调性即可；
（Ⅱ）构造函数g（x），通过计算发现g（0）=0，只需证明g（x）在[0+∞）上为增函数即可，根据函数的单调性证明即可；
（Ⅲ）结合（Ⅱ）的结论分别证明y＞0和y＜x即可．

解答 解：（Ⅰ）∵x＞0，f（x）=e^ax-x，
∴f′（x）=ae^ax-1，
①a≤0时，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）递减；
②0＜a＜1时，ln$\frac{1}{a}$＞0，
令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{a}$ln$\frac{1}{a}$，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{1}{a}$ln$\frac{1}{a}$，
∴f（x）在（0，$\frac{1}{a}$ln$\frac{1}{a}$）递减，在（$\frac{1}{a}$ln$\frac{1}{a}$，+∞）递增；
③a≥1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增．
（Ⅱ）a=1时，f（x）=e^x-x，
令g（x）=e^x-x-$\frac{1}{2}$x²-1，（x＞0），
g′（x）=e^x-1-x，g″（x）=e^x-1＞0，
故g′（x）在（0，+∞）递增，
故g′（x）＞g′（0）=0，
∴g（x）在（0，+∞）递增，
∴g（x）＞g（0）=0，
故f（x）＞$\frac{{x}^{2}}{2}$+1．
（Ⅲ）若e^x=1+x+$\frac{1}{2}$x²e^y，
由（Ⅱ）得：1+x+$\frac{1}{2}$x²e^y-x＞$\frac{1}{2}$x²+1，
∴$\frac{1}{2}$x²（e^y-1）＞0，
∴e^y＞1=e⁰，
∴y＞0，
由e^x=1+x+$\frac{1}{2}$x²e^y，
得：e^y=$\frac{2{（e}^{x}-x-1）}{{x}^{2}}$，
∴y=ln$\frac{2{（e}^{x}-x-1）}{{x}^{2}}$，
∴y-x=ln$\frac{2{（e}^{x}-x-1）}{{x}^{2}}$-x=ln[2（e²-x-1）-lnx²-x＜ln[2（$\frac{1}{2}$x²+1-1）-lnx²-x=lnx²-lnx²-x=-x＜0，
∴y-x＜0，即y＜x，
综上，0＜y＜x．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用、函数恒成立问题以及不等式的证明，是一道综合题．