题目内容

曲线C：在x＝0处的切线方程为________．

【答案】

【解析】

试题分析：因为，，所以，，

曲线在点处的切线的斜率为，

曲线在点处的切线的方程为，

故答案为．

考点：导数的几何意义

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曲线C：f(x)＝e^x＋sinx＋1在x＝0处的切线方程为________．

曲线C：f(x)＝sinx＋e^x＋2在x＝0处的切线方程为

y＝2x

y＝2x＋3

y＝2x－6

y＝x＋3

已知函数f(x)＝ax³＋bx²＋cx在x＝±1处取得极值，且在x＝0处的切线的斜率为－3.

(1)求f(x)的解析式；

(2)若过点A(2，m)可作曲线y＝f(x)的三条切线，求实数m的取值范围．

【解析】本试题主要考查了导数在研究函数中的运用。第一问，利用函数f(x)＝ax³＋bx²＋cx在x＝±1处取得极值，且在x＝0处的切线的斜率为－3，得到c＝－3　∴a＝1, f(x)＝x³－3x

(2)中设切点为(x₀，x₀³－3x₀)，因为过点A(2，m)，所以∴m－(x₀³－3x₀)＝(3x₀²－3)(2－x₀)分离参数∴m＝－2x₀³＋6x₀²－6

然后利用g(x)＝－2x³＋6x²－6函数求导数，判定单调性，从而得到要是有三解，则需要满足－6<m<2

解：(1)f′(x)＝3ax²＋2bx＋c

依题意

又f′(0)＝－3

∴c＝－3　∴a＝1　∴f(x)＝x³－3x

(2)设切点为(x₀，x₀³－3x₀)，

∵f′(x)＝3x²－3，∴f′(x₀)＝3x₀²－3

∴切线方程为y－(x₀³－3x₀)＝(3x₀²－3)(x－x₀)

又切线过点A(2，m)

∴m－(x₀³－3x₀)＝(3x₀²－3)(2－x₀)

∴m＝－2x₀³＋6x₀²－6

令g(x)＝－2x³＋6x²－6

则g′(x)＝－6x²＋12x＝－6x(x－2)

由g′(x)＝0得x＝0或x＝2

∴g(x)在(－∞，0)单调递减，(0,2)单调递增，(2，＋∞)单调递减．

∴g(x)_极小值＝g(0)＝－6，g(x)_极大值＝g(2)＝2

画出草图知，当－6<m<2时，m＝－2x³＋6x²－6有三解，

所以m的取值范围是(－6,2)．

曲线C：f(x)＝sinx+e^x+2在x＝0处的切线方程为

A.
y＝2x
B.
y＝2x+3
C.
y＝2x-6
D.
y＝x+3

曲线C：f(x)＝sinx+ex+2在x＝0处的切线方程为

试题分类

曲线C：f(x)＝sinx+e^x+2在x＝0处的切线方程为