Question

已知点P（x，y）是椭圆上任意一点xy≠1，直线l的方程为
（I）判断直线l与椭圆E交点的个数；
（II）直线l过P点与直线l垂直，点M（-1，0）关于直线l的对称点为N，直线PN恒过一定点G，求点G的坐标．

Answer 1

【答案】分析：（I）由，得，由，知，所以x²-2xx+x²=0，再由根的判别式知直线l与椭圆E只有一个交点．
（II）直线l的方程为2yx-xy-xy=0．设M（-1，0）关于直线l的对称点N的坐标为N（m，n），则，由此能够导出直线PN恒过定点G（1，0）．
解答：解：（I）由，消去y，并整理得，…（2分）
∵，∴，
∴x²-2xx+x²=0，…（4分）
∴△=4x²-4x²=0，
故直线l与椭圆E只有一个交点…（5分）
（II）直线l的方程为x（y-y）=2y（x-x），
即2yx-xy-xy=0．…（6分）
设M（-1，0）关于直线l的对称点N的坐标为N（m，n），
则，
解得．…（8分）
∴直线PN的斜率为k=，
从而直线PN的方程为
，
即，
从而直线PN恒过定点G（1，0）．…（12分）
点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，椭圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．易错点是计算量大，容量算错，要多加注意．