Question

【题目】如图，直线和抛物线相交于不同两点A，B.

（I）求实数的取值范围；

（Ⅱ）设AB的中点为M，抛物线C的焦点为F．以MF为直径的圆与直线l相交于另一点N，且满足，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】（I）（Ⅱ）

【解析】

（I）把直线方程与抛物线方程联立，消去得到一个一元二次方程，只要判别式大于零即可，解不等式求出实数的取值范围；

（Ⅱ）方法1：由，根据直径所对的圆周角是直角，可得，

设，根据（I）中得到一元二次方程，利用根与系数的关系，可以求出M的坐标，再求出点N的坐标，分别求出的长度，最后利用

可以求出的值，最后求出直线方程；

方法2：由，根据直径所对的圆周角是直角，可得，结合方法1，可以求出的值，最后求出直线方程；

方法3：设直线l的方向向量为，求出平面向量的加法法则，可以求出,求出、的长度，最后利用可以求出的值，最后求出直线方程.

解：（I）由，消去得，，

解得或．故

（Ⅱ）方法1：等价于.

设，

则，，

所以，

即．

又直线，与联立，

解得，所以，

.

又，则由，

得，解得，

所以直线的方程为.

方法2：等价于，，

由方法1中，，

．

所以，即，

化简得，得，.

所以直线l的方程为.

方法3：设直线l的方向向量为，

，

则，

又，

由，得，，

所以直线l的方程为.