Question

下列命颗中：
①向量

a

与向量

b

共线?存在唯一实数λ，使

b

=λ

a

；
②若

a

≠

0

且λ

a

=

b

，则λ=

b

a

；
③若

OP

=λ

OA

+μ

OB

，则P，A，B三点共线?λ+μ=1．
其中不正确的有（　　）

A．0个

B．1个

C．2个

D．3个

Answer 1

分析：命题①想考查共线向量基本定理，前提是

a

为非零向量；向量不同于实数，不能进行一般的乘除运算，则命题②可得到判断；命题③成立的前提是向量

OA

与

OB

不共线．

解答：解：命题①不正确．若

a

=

0

，因为零向量与任意向量共线，所以，对于任意实数λ，都有

b

=λ

a

；
命题②不正确．若

a

≠

0

且λ

a

=

b

，说明向量

b

与非零向量

a

共线，因为向量没有定义除法运算，只有定义了向量的
数量积与外积，所以，λ

a

=

b

也就不能写成λ=

b

a

；
命题③不正确．若

OA

与

OB

不共线，由P，A，B三点共线，则

AP

=t

AB

(t∈R)，

OP

-

OA

=t(

OB

-

OA

)，

OP

=(1-t)

OA

+t

OB

，令1-t=λ，t=μ，所以λ+μ=1．
若

OA

与

OB

共线，以

OA

，

OB

均为非零向量为例，若P，A，B三点共线，则

OA

=k

OB

，
则

OP

=λ

OA

+μ

OB

=(kλ+μ)

OB

，其中kλ+μ可为任意非0实数，所以λ+μ不一定等于1．
所以，不正确的命题有3个．
故选D．

点评：本题考查了命题的真假的判断与应用，考查了共线向量基本定理及其应用，考查了平面向量的基本运算，解答此题的关键是对定义和定理的理解与掌握，此题是基础题，但是容易出错．