题目内容
如图所示的几何体是由以正三角形
为底面的直棱柱被平面
所截而得. 
，
为
的中点．
（1）当
时，求平面与平面的夹角的余弦值；
（2）当
为何值时，在棱
上存在点
，使
平面？
（1）分别取、
的中点、
，连接
、
．
以直线
、、分别为
轴、
轴、
轴建立如图所示的空间直角坐标系，
，则
、
、
的坐标分别为（1，0，1）、（0，
，3）、（-1，0，4），
∴
=（-1，，2），
=（-2，0，3）
设平面的法向量
，
由
得
，可取
…… 3分
平面的法向量可以取
∴
…… 5分
∴平面与平面的夹角的余弦值为
． ……6分
（2）在（1）的坐标系中，
，=（-1，，2），=（-2，0，-1）．
因在上，设
，则
∴
于是平面的充要条件为
由此解得，
即当=2时，在上存在靠近的第一个四等分点，使平面. ……12分
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