Question

求证不论m取什么实数,直线(2m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0都经过一个定点,并求出这个定点.

Answer 1

思路分析:题目中的m是任意的,所以可给m取两个值,得两条直线的方程,解由它们组成的方程组可得定点坐标,也可将原方程的左边分离成两部分,利用直线系方程求解.

解法一:令m=0,得x-3y-11=0;

令m=1,得x+4y+10=0.

解得两条直线的交点为(2,-3),将点(2,-3)代入直线方程得(2m-1)×2+(m+3)×(-3)-(m-11)=4m-2-3m-9-m-11=0.

这说明不论m取什么实数,直线(2m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0都经过一个定点,这个定点为(2,-3).

解法二:将已知方程整理为(2x+y-1)m+(-x+3y+11)=0,

由m取值的任意性,有得两条直线的交点为(2,-3).

这说明不论m取什么实数,直线(2m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0都经过一个定点,这个定点为(2,-3).

  绿色通道:考查直线过定点,可利用m的任意性取值,此时注意m的值要尽量使得方程简便.经过A₁x+B₁y+C₁=0和A₂x+B₂y+C₂=0的交点的直线,可表达为A₁x+B₁y+C₁+λ(A₂x+B₂y+C₂)=0的形式,其中λ∈R,这可称为过交点的直线系方程,由此可将原方程分离成两部分,一部分不含m,另一部分含m,进而求两直线的交点.