题目内容
【题目】已知数列
、
满足：
，
，
，
．
（1）求
，
，
，
；
（2）求证：数列
是等差数列，并求的通项公式；
（3）设
，若不等式
对任意
恒成立，求实数
的取值范围．
【答案】（1）
，
，
，
（2）证明见解析，
（
）（3）
【解析】
（1）根据已知条件求得
与
的递推关系式，由此先求出
，进而依次求得
的值.
（2）由（1）中求得的与的递推关系式，利用配凑法证得数列
是等差数列，由此求得数列的通项公式，进而求得数列
的通项公式.
（3）由（2）求得数列
的通项公式，利用裂项求和法求得
.
解法一：利用分离常数法化简不等式
，得到
，利用数列的单调性证得
，由此求得
的取值范围.
解法二：通过差比较法，化简
，对分类讨论，结合二次函数的性质求得的取值范围.
（1）由于
，所以
，
因为
，所以，，，，．
（2）
，
，
所以，
，
所以，数列是以
为首项，
为公差的等差数列．
所以，
，（）．
（3）因为，从而
，
所以，
，
解法一：
所以，不等式化为
，
即当时恒成立，
令
，
则
随着
的增大而减小，且
恒成立．
故
，所以，实数的取值范围是．
解法二：
，
若不等式对任意恒成立，则当且仅当
对任意恒成立．
设
，由题意，
，
当
时，
恒成立；
当
时，函数
图像的对称轴为
，
在
上单调递减，即在
上单调递减，故只需
即可，
由
，得
，所以当时，对恒成立．
综上所述，实数的取值范围是．
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