Question

函数f（x）=-|x-1|，g（x）=x²-2x，定义F(x)=

f(x)，f(x)＞g(x)   1  ，f(x)=g(x) g(x)，f(x)＜g(x)

，则F（x）满足（　　）

A．既有最大值，又有最小值

B．有最大值，无最小值

C．无最大值，有最小值

D．既无最大值，又无最小值

Answer 1

x＞1时，f（x）=-|x-1|=1-x，f（x）=g（x）可化为：x²-x-1=0，∴x=

1+ 5

2

x≤1时，f（x）=-|x-1|=x-1，f（x）=g（x）可化为：x²-3x+1=0，∴x=

3- 5

2

根据定义F(x)=

f(x)，f(x)＞g(x)   1  ，f(x)=g(x) g(x)，f(x)＜g(x)

，可得F(x)=

x2-2x，x∈(-∞， 3- 5 2 )∪( 1+ 5 2 ，+∞) 1，x∈{ 3- 5 2 ， 1+ 5 2 } -|x-1|，x∈( 3- 5 2 ， 1+ 5 2 )

当x∈(-∞，

3- 5

2

)∪(

1+ 5

2

，+∞)时，F（x）=x²-2x，既无最大值，又无最小值
当x∈(

3- 5

2

，

1+ 5

2

)时，F（x）=-|x-1|，有最大值0，无最小值，
当x∈{

3- 5

2

，

1+ 5

2

}时，F（x）=-1
综上知，函数既无最大值，又无最小值
故选D．