Question

（本小题共13分）

数列满足，（），是常数。

（Ⅰ）当时，求及的值；

（Ⅱ）数列是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由；

（Ⅲ）求的取值范围，使得存在正整数，当时总有。

Answer 1

（Ⅰ），

（Ⅱ）数列不可能为等差数列，理由见解析。

（Ⅲ）

解析:

（Ⅰ）由于，且。

所以当时，得，故。

从而。

（Ⅱ）数列不可能为等差数列，证明如下：由，

得，，。

若存在，使为等差数列，则，即，

解得。于是，。

这与为等差数列矛盾。所以，对任意，都不可能是等差数列。

（Ⅲ）记，根据题意可知，且，即

且，这时总存在，满足：当时，；

当时，。所以由及可知，若为偶数，

则，从而当时，；若为奇数，则，

从而当时．因此“存在，当时总有”

的充分必要条件是：为偶数，

记，则满足。

故的取值范围是。