Question

已知函数f（x）=x+

2

x

+1-a1nx（a＞0）．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）设a=1，求f（x）在区间[1，e²]上的值域．

Answer 1

分析：（1）求出函数的导数，对参数的取值范围进行讨论，即可确定函数的单调性．
（2）由（I）所涉及的单调性来求在区间[1，e²]上的单调性，确定出函数的最值，即可求出函数的值域．

解答：解：（1）∵函数f（x）=x+

2

x

+1-a1nx，a＞0
∴f′（x）=1-

2

x2

-

a

x

=

x2-ax-2

x2

，x＞0
令y=x²-ax-2（x＞0）
△=a²+8＞0恒成立，即y=0有两个不等根

a± a2+8

2

，
由x²-ax-2＞0，得x＞

a+ a2+8

2

，由x²-ax-2＜0，得 0＜x＜

a- a2+8

2

综上，函数f（x）在（0，

a- a2+8

2

）上是减函数，在（

a+ a2+8

2

，+∞）上是增函数．
（2）当a=1时，由（1）知f（x）在（1，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数，
故函数在[1，2]是奇函数，在[2，e²]上是增函数
又f（1）=4，f（2）=4-ln2，f（e²）=e²+

2

e2

-1＞4
∴f（x）在区间[1，e²]上值域是[4-ln2，e²+

2

e2

-1]

点评：本题主要考查函数的单调性及值域，比较复杂的函数的单调性，一般用导数来研究，将其转化为函数方程不等式综合问题解决，研究值域时一定要先确定函数的单调性才能求解．