Question

若定义在R上的函数f（x）满足：存在x∈R，使f（x）=x成立，则称x是函数f（x）的一个不动点．
（I）求函数g（x）=x³-2x的不动点；
（II）若函数h（x）=ax²+bx-b有不动点-3和1，求h（-1）的值．

Answer 1

【答案】分析：（I）根据新定义在R上的函数f（x）满足：存在x∈R，使f（x）=x成立，根据已知函数g（x）=x³-2x，列出方程求出不动点；
（II）函数h（x）=ax²+bx-b有不动点-3和1可得h（x）=x，方程有两个根为-3和1，根据根与系数的关系进行求解；
解答：解：（I）∵定义在R上的函数f（x）满足：存在x∈R，使f（x）=x成立，
∴g（x）=x，即x³-2x=x，∴x³-3x=0，解得x=0或x=±，
∴函数三个不动点是：-，0，；
（II）∵-3和1是函数h（x）的不动点，
∴h（-3）=-3，h（1）=1，
∴，
解得，
于是h（x）=x²+3x-3，h（-1）=-5；
点评：此题主要考查函数的零点与方程的关系，是一道中档题，新定义的问题一般要读懂题意，考查的知识点比较全面；