Question

已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）＞2x的解集为（-1，3）
（1）若方程f（x）=-7a有两个相等的实数根，求f（x）的解析式
（2）若函数f（x）在[-2，1]上的最大值为10，求a的值及f（x）在[-2，11]的最小值．

Answer 1

分析：解：由已知f（x）-2x=a（x+1）（x-3）且有a＜o
（1）若方程f（x）=-7a有两个相等的实数根，则△=0，求出a，
（2）f（x）=ax²+（2-2a）x-3a，对称轴为 x=1-

1

a

＞l，故f（x）在[-2，1]上是增函数，利用最大值为f（1）=2-4a=10求解．

解答：解：由已知f（x）-2x=a（x+1）（x-3）且有a＜o，整理得
f（x）=ax²+（2-2a）x-3a
（1）由f（x）=ax²+（2-2a）x-3a=-7a⇒ax²+（2-2a）x+4a=O方程有两个相等的实数根，
△=（2-2a）²-16a²=0解得a=-1或a=

1

3

（舍去，因a＜0）．    …（5分）
所以f（x）=-x²+4x+3．    …（1分）
（2）f（x）=ax²+（2-2a）x-3a，对称轴为 x=1-

1

a

＞l，
故f（x）在[-2，1]上是增函数，故最大值为f（1）=2-4a=10，得a=-2，…（4分）
f（x）的最小值为f（-2）=-14．    …（2分）

点评：本题考查二次函数图象与性质：单调性，最值．属于常规题．