Question

20．已知函数f（x）是（-∞，+∞）的偶函数，若对于x≥0，都有f（x+2）=-f（x），且当x∈[0，2）时，f（x）=log₂（x+1），求：
（1）f（0）与f（2）的值；
（2）f（3）的值；
（3）f（2013）+f（-2014）的值．

Answer 1

分析 （1）直接根据函数表达式即可求f（0）与f（2）的值；
（2）根据关系式f（x+2）=-f（x），即可求f（3）的值；
（3）利用函数的奇偶性和周期性即可求f（2013）+f（-2014）的值．

解答 解：（1）∵当x∈[0，2）时，f（x）=log₂（x+1），
∴f（0）=log₂1=0，
∵x≥0，都有f（x+2）=-f（x），
∴f（2）=-f（0）=0．
（2）∵f（x+2）=-f（x），
∴f（3）=f（1+2）=-f（1）=-log₂2=-1；
（3）∵x≥0，都有f（x+2）=-f（x），
∴x≥0，都有f（x+4）=-f（x+2）=f（x），此时函数的周期为4，
则f（2013）=f（503×4+1）=f（1）=log₂2=1．
f（-2014）=f（2014）=f（503×4+2）=f（2）=0，
∴f（2013）+f（-2014）=1+0=1．

点评 本题主要考查函数值的计算，根据抽象函数的关系，结合函数奇偶性和周期性进行转化是解决本题的关键．