Question

【题目】已知函数，，

（I）求函数的单调区间；

（II）若在恒成立，求的取值范围；

（III）当，时，证明：

Answer 1

【答案】（I）见解析（II）（III）见解析

【解析】

（I）求导后，当时，恒成立，可知单调递增；当时，求出的解，从而可判断出的符号，从而得到的单调区间；（II）当时，可知；当时，，利用导数求解出使，的最大值，从而；当时，，可得，综合上述结果，可求得；（III）由（II）可知只需证得在上恒成立即可；构造函数，利用导数可证得结果，从而原不等式成立.

（I）由题意知：

（1）当时，恒成立 在定义域上单调递增

（2）当时，令，解得：

则，，变化情况如下表：

		极小值

的单调减区间为：，单调增区间为：

（II）（1）当时，原不等式化为：恒成立，可知

（2）当时，则，令

则

令，则

当时，，则

在上单调递减

即 在上单调递减

当时，

综上所述：

（III）（1）当时，，则

由（II）可得时，

则只需证明：成立

令

当时，

在上单调递增