Question

已知E（2，2）是抛物线C：y²=2px上一点，经过点（2，0）的直线l与抛物线C交于A，B两点（不同于点E），直线EA，EB分别交直线-2于点M，N．
（1）求抛物线方程及其焦点坐标；
（2）已知O为原点，求证：以MN为直径的圆恰好经过原点．

Answer 1

分析：（1）将E（2，2）代入y²=2px，可得抛物线方程及其焦点坐标；
（2）设出直线方程代入抛物线方程，利用韦达定理及向量知识，计算

OM

•

ON

=0，即可得到结论．

解答：（1）解：将E（2，2）代入y²=2px，得p=1
所以抛物线方程为y²=2x，焦点坐标为(

1

2

，0)
（2）证明：设A(

y12

2

，y1)，B(

y22

2

，y2)，M（x_M，y_M），N（x_N，y_N），
设直线l方程为x=my+2，与抛物线方程联立，消去x，得：y²-2my-4=0
则由韦达定理得：y₁y₂=-4，y₁+y₂=2m
直线AE的方程为：y-2=

y1-2

y12 2 -2

(x-2)，即y=

2

y1+2

(x-2)+2，
令x=-2，得yM=

2y1-4

y1+2

同理可得：yN=

2y2-4

y2+2

∴

OM

•

ON

=4+y_My_N=4+

4(y1-2)(y2-2)

(y1+2)(y2+2)

=4+

4(-4-2m+4)

4(-4+2m+4)

=0
∴OM⊥ON，即∠MON为定值

π

2

．

点评：本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．