Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

，x∈R）的图象的一部分如图所示，当x∈[-6，-

2

3

]时，则函数y=f（x）+f（x+2）的最大值是

 

．

Answer 1

分析：由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，从而得到函数的解析式．利用两角和差的正弦公式化简函数y=f（x）+f（x+2）的解析式为 2

2

cos

π

4

x，通过x的范围，求得函数的最大值．

解答：解：由图象，知A=2，

2π

ω

=8．
∴ω=

π

4

，可得f（x）=2sin（

π

4

x+φ）．
当x=1时，有

π

4

×1+φ=

π

2

，
∴φ=

π

4

．   
∴f（x）=2sin（

π

4

x+

π

4

）．   
由y=f（x）+f（x+2）
∴f（x）+f（x+2）=2sin（

π

4

x+

π

4

）+2sin[

π

4

（x+2）+

π

4

]=2sin（

π

4

x+

π

4

）+2cos（

π

4

x+

π

4

） 
=2

2

sin（

π

4

x+

π

2

）=2

2

cos

π

4

x．
∵x∈[-6，-

2

3

]，
∴

π

4

x∈[-

3π

2

，-

π

6

]，
∴

π

4

x=-

π

6

时，函数取得最大值：

6

．
故答案为：

6

．

点评：本题主要考查利用y=Asin（ωx+∅）的图象特征，由函数y=Asin（ωx+∅）的部分图象求解析式，两角和差的正弦公式的应用，属于中档题．